导言：        在现实生活中，处处存在着各种各样的逻辑关系，比如，菜价x斤数=银子数，速度x时间=路程等等，这些关系如果被量化，大多数都是实数范围的，比如f(x)=2x+1.但是，同样存在着这样一些关系，他们在实数范围内表达出来是复杂的。或者，用这些关系构成一些方程，可能根本是不可解的，比如一个被广为流传的方程x^2+1=0,为了解决这些问题，复数被引入了人们的视线。

关于复数：
复数的文字资料最早出现在公元一世纪的希腊数学家海伦，但是直到18世纪末，复数才渐渐被人们所接受。在这之前，莱布尼兹在1702年曾经评价说

：

“

虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物

”

。这句话在一定程度上说明了“虚数”曾经给数学界带来的困惑，在现今的数学理论中，复数已然成为数论中的不可或缺的一部分。

复数是什么？

引入复数的必要性最初是从解方程开始的，在实数范围内，我们经常会碰到方程无解的情况，在这种情况下，我们的先辈们引入了复数的概念。复数的定义是

i^2=-1

，这是。一个很棒的定义，至少这令我们的一元二次方程始终有解了。

举个例子：

x^2=-1

，其解为

x=i

或

x=-i

。让我们来验证一下：

x^2 = (-i)^2=i^2=-1

成立。

在时代的驱动下，复数就此诞生，复数的完整表达是

z = a+bi

，它是由一个有序二元实数对确定的一个数，为了真正的使用复数，我们必须对这种东西进行进一步的定义，由于复数的本质还是一种数，且是对实数的扩充，那么，我们不妨就借鉴于实数来定义它，从而，我们定义了复数的加法和乘法。

此处简化书写，由于复数只由一个有序二元实数对唯一确定，我们不妨记

z1 = (a, b), z2 =

(c, d)

，其中

(0, 1)= i

定义：

z1 + z2 = (a + c, b + d)

z1 x z2 = (ac - bd, ad + bc)

为什么这么定义？

对于复数来说，如果我们将其当做一种完善的数来看待，那么，这种数的运算应当是封闭的，就像你不会希望你家养的鸡下出来的是鸭蛋一样。这种定义能够保证复数的运算不会使复数生出来意料之外的孩子。

其实，如果只将

i

看做一个字母，只不过这个字母被加上了平方结果为负一这一条性质。那么，这两条性质可以被很轻松的理解

z1 + z2 =

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

z1 + z2 =

(a + bi) x (c + di) = (ac + bdi^2) + (adi + bci) = (ac – bd) + (ad + bc)i

当然了，你可能发现了，如果

(b + d) = 0

或者

(ad + bc) = 0

，这个数不就变成了实数而不是复数？这样还符合复数不就是不封闭了？

所以，大数学家们为了处理这种问题，添加了一个实数域到复数域的一个映射

f(a) = (a, 0),

这个映射保持了实数域的加法和乘法，

比如

:f(a + b) = (a + b), 0), (a, 0) + (b, 0) = (a +

b,0)

f(ac) = (ac, 0),

(a, 0) x(c, 0) = (ac, 0)

是不是没毛病呢？

同样，我们可以解释

i^2 = -1

这一事实，

(0, 1) x (0, 1) = (-1, 0) =-1

事实上，我们可以证明，复数的全体（包括实数）构成复数域，而实数域是复数域的一个子域

那么，我们继续前进咯

~~~~

对z = a + bi 的简单解释：

在复数

(complex number)

对应的有序二元实数对

(a,
b)

中，实数

a

被称为复数

z

的实部

(real part)

，记为

Rez = a

，实数

b

被称为复数

z

的虚部

(imaginary
part),

记为

Imz = b.

[/table] 当a = 0 且 b != 0 时， z = bi，我们将这一类虚数称为纯虚数。 当a != 0 且 b = 0 时， z = a，虚数退化为实数。 对于一个复数z=a+bi, =a-bi 称为它的共轨复数，可以发现,z =a^2+b^2 复数的集合用 C 表示，实数集合用 R 表示，则 R 是 C 的真子集 我们可以再考虑一件事情，复数既然是一种数，那么根据我们对实数等的理解，数应该是可以比较大小的啊，可是，这复数是用一个实数对表示的，我们虽然可以比较出任意一个实数与另一个实数的大小，可是这两个数作为一个整体该认为谁更大呢？这是一件让人纠结的事情，事实上，复数是不存在一般意义上的数的相对大小的。我们也不必要纠结于没法比较大小这件事，因为我们有类似的替代品。 复数的模： 将实数的实部与虚部的平方的正平方根的值称为该复数的模，记为 z 。 即对于复数 z = a + bi ，它的模 为什么这样定义？复数是没办法直接比较大小的，要实现类似于比较大小的功能，我们就要想办法将这两个实数并在一起，这是我们的目标，然而，为什么要取这个公式呢？可以联系平面直角坐标系上的距离定义，这里的模也就是复数在复平面上到原点的距离。 复平面是什么？ 我们知道，复数可以用一个有序二元实数对（ a, b ）表示，那么，我们或许可以在一个平面上刻画出这个复数所对应的点。事实上也确实定义了这样的一个平面称为复平面 xOy ，这个平面上 x 轴为实轴， y 轴为虚轴，我们可以看见， x 轴上是实数， y 轴上（除原点）是纯虚数。当然，还可以刻画相应在相应的极坐标平面上 例：分别在直角坐标下和极坐标下表示复函数 y = t + itsin(t)

咣当咣当咣当咣当 ……x10000 ，极坐标表示是什么鬼？ 为什么可以表示为极坐标？        极坐标的表示方式就是“距离加角度”，在复数中，距离的问题可以解决（复数的模），那么我们要解决的问题就在于复数的角度。何一个实函数可以在直角坐标下表示成点的集合，表示是从 x 到 y 的一种特殊映射，同样的含有复数的函数也可以，任意在复平面（直角坐标形式）上取一点，这一点到原点的连线与实轴的正方向构成一个角 ，这个角 称为复数的辐角，记为 Arg(z), 如果你比较细心，可能发现这个角不是一个定值，因为 , 故，我们将做一个约定对于 ，如果 , 那么将这个角度值称为辐角主值，记为 arg(z), 注意，在这里 a 为小写。

复数的辐角：

复数的辐角的意义绝不仅仅在于让我们能够在复平面中表示复数值，它还可以用于来改变复数的表示方式，事实上，辐角的引入让我们复数有了另外两种表示方法。 表示方法一（三角函数法） : 这种方式下， 即为该复数在极坐标复平面中的坐标，其中 表示方法二（指数形式） : , 这个公式看起来比较奇怪，这个公式看起来前后没有任何联系，容易让人表示不敢相信，但是，实际情况是，这两个公式确实是等价的 , 具体证明可以参考 欧拉公式的证明 那么，直到现在，我们算是把复数是什么搞清楚了？？？但是，复数到底有什么用呢？ O( ∩ _ ∩ )O 哈哈 ~ ，还早着呢，让我们想想，我们忘掉了一点什么？ 我们在上面曾提到过，复数是一种数，而且包含实数，那么，实数的那些性质在复数中到底是不是一样一样的呢？在上面的讨论中，我们只涉及到了复数的加法和乘法，那么，复数的减法，除法呢？复数的乘幂和方根呢？ 复数的运算性质： [table=100%,white]加法法则：减法和加法类似，因此有复数的加法法则：

      

乘法法则：

      

除法法则：分母有理化，在分母上乘上分母的共轨复数实现分母的有理化

      

乘方法则（棣莫佛定理）：对于复数

，可以很快得到

z

的

n

次幂

      

特别的：对于

i

      

开方法则：对于复数

，可以得到

注意：如果

则与前面的

n

的结果重复

（复数基础介绍完毕哒~~~~）

复数在信号处理里极为重要